40代ロスジェネの明るいブログ

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感想文19-08:数学ガール ポアンカレ予想

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※2019年4月18日にYahoo!ブログに掲載したものを再掲。

 

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ガロア理論に続く、数学ガールシリーズ。主人公は受験を迎えた高校3年生になっている。受験や将来への不安に揺れる男子高校生と数学とそしてガールズとの淡い読み物だ。

さて、本書のタイトルになっている「ポアンカレ予想」とは、

M3次元の閉多様体とする。Mの基本群が単位群に同型ならば、M3次元球面に同相である。(p.225

うん、そうだね。わからないね。読んだときには何となくわかった気になるのだが、じゃあ、説明できるかというとできない。そう、わかっていないのだ。

せめてポアンカレさんについて書いておこう。ウィキペディアによると

ジュール=アンリ・ポアンカレ1854–1912)はナンシー生まれのフランスの数学者、理論物理学者、科学哲学者。数学、数理物理学、天体力学などの重要な基本原理を確立し、功績を残した。フランス第三共和制大統領・レーモン・ポアンカレはアンリの従弟。

とのこと。高橋是清と同い年。

本書のあとがきでは、

本書で使っている主な数学的内容は、トポロジー位相幾何学)、基本群、非ユークリッド幾何学微分方程式多様体フーリエ展開、そしてポアンカレ予想です。(p.385

そうだね。難しいね。本書を読むと数学の広さと自由さを知ることができる。本書を読んで一筆書き問題をようやく理解できた。非ユークリッド幾何学についても何となくイメージすることができるようになった。

私は数学も数字も好きだ。数字を見ると、ついつい素数に分解したくなる。

例えば次男の背番号(フィールドプレイヤーの時限定)は「91」で、すぐに7×13かとか考える。他に91に何か素敵なことが隠れていないかとかも考えてしまう。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+1391

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^291

(10+3)×(10-3)10^23^291

面白いな。他にもあるかもしれない。

先日も出張でホテルに泊まったけれど、部屋番号を素数に分解したり、何か素敵な秘密がないか考える。そうやって眠りに落ちていく。

最近は、急に完全数について考えたくなった。628完全数ということは知っていたけれど、その次はなんだろうか。寝る前に考えていて、考えているうちに寝てしまうということを3日くり返し、ようやく分かった。2^n-1素数なら、そこに2^(n-1)をかければ完全数になる。たとえば、4-13なら3×268-17なら4×728となる。次の16-115素数じゃないのでダメ。次の32-131素数なので、16×31496完全数になる。

じゃあ、その次はというと、63はダメだし127はどうだろうか。ぱっと見で素数かどうかは分からない。11^2121だから13くらいまでの素数で調べれば良いな。うーん、どれも割れない。おお、素数だ。ということは64×1278128(さすがに面倒なので電卓使った)も完全数だ。

続けていくと、255→素数ではない、511は、ええと、7×73か、素数じゃないな。1023もダメだ。2047は、うーん、23×89か。意外と次の完全数が出てこない。そろそろ暗算で素数かどうかを検定するのが厳しい。でも楽しい。続きは夜に考えてみるかな。

それからポアンカレ円板が素敵。こういう作図をしてみたい。特殊なソフトが必要なのだろうか。趣味で描きたい。

あと本書関係ないけど、多面体とか繰り返し模様パズルとか。そういうのも好きでたまらない。実社会での仕事や生活に疲れているのだろうか。逃避行動を衝動的に起こしそうになる今日このごろ。

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(感想文の感想など)

コインロッカーの番号を素数に分解する。そうすると番号をその日は忘れない。ちょっとしたライフハックだ。

数学に思いを馳せることから遠のいている。たまには数学休暇でも取るか。